3.921 \(\int \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c+d \sin (e+f x))^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=133 \[ \frac {d^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+4}}{a^4 f (m+4)}+\frac {3 d^2 (c-d) (a \sin (e+f x)+a)^{m+3}}{a^3 f (m+3)}+\frac {3 d (c-d)^2 (a \sin (e+f x)+a)^{m+2}}{a^2 f (m+2)}+\frac {(c-d)^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+1}}{a f (m+1)} \]

[Out]

(c-d)^3*(a+a*sin(f*x+e))^(1+m)/a/f/(1+m)+3*(c-d)^2*d*(a+a*sin(f*x+e))^(2+m)/a^2/f/(2+m)+3*(c-d)*d^2*(a+a*sin(f
*x+e))^(3+m)/a^3/f/(3+m)+d^3*(a+a*sin(f*x+e))^(4+m)/a^4/f/(4+m)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.14, antiderivative size = 133, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 31, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.065, Rules used = {2833, 43} \[ \frac {3 d^2 (c-d) (a \sin (e+f x)+a)^{m+3}}{a^3 f (m+3)}+\frac {3 d (c-d)^2 (a \sin (e+f x)+a)^{m+2}}{a^2 f (m+2)}+\frac {d^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+4}}{a^4 f (m+4)}+\frac {(c-d)^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+1}}{a f (m+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

((c - d)^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) + (3*(c - d)^2*d*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(
2 + m)) + (3*(c - d)*d^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m)) + (d^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a
^4*f*(4 + m))

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rule 2833

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)
])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/(b*f), Subst[Int[(a + x)^m*(c + (d*x)/b)^n, x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[
{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

Rubi steps

\begin {align*} \int \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c+d \sin (e+f x))^3 \, dx &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int (a+x)^m \left (c+\frac {d x}{a}\right )^3 \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \left ((c-d)^3 (a+x)^m+\frac {3 (c-d)^2 d (a+x)^{1+m}}{a}+\frac {3 (c-d) d^2 (a+x)^{2+m}}{a^2}+\frac {d^3 (a+x)^{3+m}}{a^3}\right ) \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f}\\ &=\frac {(c-d)^3 (a+a \sin (e+f x))^{1+m}}{a f (1+m)}+\frac {3 (c-d)^2 d (a+a \sin (e+f x))^{2+m}}{a^2 f (2+m)}+\frac {3 (c-d) d^2 (a+a \sin (e+f x))^{3+m}}{a^3 f (3+m)}+\frac {d^3 (a+a \sin (e+f x))^{4+m}}{a^4 f (4+m)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.39, size = 113, normalized size = 0.85 \[ \frac {(a (\sin (e+f x)+1))^{m+1} \left (\frac {3 a^3 d^2 (c-d) (\sin (e+f x)+1)^2}{m+3}+\frac {3 a^3 d (c-d)^2 (\sin (e+f x)+1)}{m+2}+\frac {a^3 (c-d)^3}{m+1}+\frac {d^3 (a \sin (e+f x)+a)^3}{m+4}\right )}{a^4 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

((a*(1 + Sin[e + f*x]))^(1 + m)*((a^3*(c - d)^3)/(1 + m) + (3*a^3*(c - d)^2*d*(1 + Sin[e + f*x]))/(2 + m) + (3
*a^3*(c - d)*d^2*(1 + Sin[e + f*x])^2)/(3 + m) + (d^3*(a + a*Sin[e + f*x])^3)/(4 + m)))/(a^4*f)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.51, size = 403, normalized size = 3.03 \[ \frac {{\left ({\left (d^{3} m^{3} + 6 \, d^{3} m^{2} + 11 \, d^{3} m + 6 \, d^{3}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} + {\left (c^{3} + 3 \, c^{2} d + 3 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{3} + 24 \, c^{3} + 24 \, c d^{2} + 3 \, {\left (3 \, c^{3} + 7 \, c^{2} d + 5 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{2} - {\left ({\left (3 \, c^{2} d + 3 \, c d^{2} + 2 \, d^{3}\right )} m^{3} + 36 \, c^{2} d + 12 \, d^{3} + 3 \, {\left (8 \, c^{2} d + 5 \, c d^{2} + 3 \, d^{3}\right )} m^{2} + {\left (57 \, c^{2} d + 12 \, c d^{2} + 19 \, d^{3}\right )} m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, {\left (13 \, c^{3} + 18 \, c^{2} d + 9 \, c d^{2} + 4 \, d^{3}\right )} m + {\left ({\left (c^{3} + 3 \, c^{2} d + 3 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{3} + 24 \, c^{3} + 24 \, c d^{2} + 3 \, {\left (3 \, c^{3} + 7 \, c^{2} d + 5 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{2} - {\left ({\left (3 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{3} + 24 \, c d^{2} + 3 \, {\left (7 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m^{2} + 2 \, {\left (21 \, c d^{2} + d^{3}\right )} m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, {\left (13 \, c^{3} + 18 \, c^{2} d + 9 \, c d^{2} + 4 \, d^{3}\right )} m\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )} {\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{f m^{4} + 10 \, f m^{3} + 35 \, f m^{2} + 50 \, f m + 24 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

((d^3*m^3 + 6*d^3*m^2 + 11*d^3*m + 6*d^3)*cos(f*x + e)^4 + (c^3 + 3*c^2*d + 3*c*d^2 + d^3)*m^3 + 24*c^3 + 24*c
*d^2 + 3*(3*c^3 + 7*c^2*d + 5*c*d^2 + d^3)*m^2 - ((3*c^2*d + 3*c*d^2 + 2*d^3)*m^3 + 36*c^2*d + 12*d^3 + 3*(8*c
^2*d + 5*c*d^2 + 3*d^3)*m^2 + (57*c^2*d + 12*c*d^2 + 19*d^3)*m)*cos(f*x + e)^2 + 2*(13*c^3 + 18*c^2*d + 9*c*d^
2 + 4*d^3)*m + ((c^3 + 3*c^2*d + 3*c*d^2 + d^3)*m^3 + 24*c^3 + 24*c*d^2 + 3*(3*c^3 + 7*c^2*d + 5*c*d^2 + d^3)*
m^2 - ((3*c*d^2 + d^3)*m^3 + 24*c*d^2 + 3*(7*c*d^2 + d^3)*m^2 + 2*(21*c*d^2 + d^3)*m)*cos(f*x + e)^2 + 2*(13*c
^3 + 18*c^2*d + 9*c*d^2 + 4*d^3)*m)*sin(f*x + e))*(a*sin(f*x + e) + a)^m/(f*m^4 + 10*f*m^3 + 35*f*m^2 + 50*f*m
+ 24*f)

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 0.24, size = 1003, normalized size = 7.54 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

(3*((a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^2 - 2*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^2
+ (a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^2 + 3*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - 8*
(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m + 5*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m + 2*(a
*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m - 6*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a + 6*(a*sin(f*x
+ e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2)*c*d^2/(a^2*m^3 + 6*a^2*m^2 + 11*a^2*m + 6*a^2) + ((a*sin(f*x + e) + a)^
4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^3 - 3*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^3 + 3*(a*sin(f*x + e) + a)^
2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^3 - (a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^3 + 6*(a*sin(f*x + e) + a
)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^2 - 21*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^2 + 24*(a*sin(f*x + e) +
a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^2 - 9*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^2 + 11*(a*sin(f*x +
e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - 42*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m + 57*(a*sin(f*x + e
) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m - 26*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m + 6*(a*sin(f*x +
e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m - 24*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a + 36*(a*sin(f*x + e) + a
)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2 - 24*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3)*d^3/(a^3*m^4 + 10*a^3*m^3
+ 35*a^3*m^2 + 50*a^3*m + 24*a^3) + (a*sin(f*x + e) + a)^(m + 1)*c^3/(m + 1) + 3*((a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*s
in(f*x + e) + a)^m*m - (a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m + (a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e
) + a)^m - 2*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a)*c^2*d/((m^2 + 3*m + 2)*a))/(a*f)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 8.89, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \cos \left (f x +e \right ) \left (a +a \sin \left (f x +e \right )\right )^{m} \left (c +d \sin \left (f x +e \right )\right )^{3}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x)

[Out]

int(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x)

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.75, size = 294, normalized size = 2.21 \[ \frac {\frac {3 \, {\left (a^{m} {\left (m + 1\right )} \sin \left (f x + e\right )^{2} + a^{m} m \sin \left (f x + e\right ) - a^{m}\right )} c^{2} d {\left (\sin \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}}{m^{2} + 3 \, m + 2} + \frac {3 \, {\left ({\left (m^{2} + 3 \, m + 2\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{3} + {\left (m^{2} + m\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a^{m} m \sin \left (f x + e\right ) + 2 \, a^{m}\right )} c d^{2} {\left (\sin \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}}{m^{3} + 6 \, m^{2} + 11 \, m + 6} + \frac {{\left ({\left (m^{3} + 6 \, m^{2} + 11 \, m + 6\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{4} + {\left (m^{3} + 3 \, m^{2} + 2 \, m\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{3} - 3 \, {\left (m^{2} + m\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{2} + 6 \, a^{m} m \sin \left (f x + e\right ) - 6 \, a^{m}\right )} d^{3} {\left (\sin \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}}{m^{4} + 10 \, m^{3} + 35 \, m^{2} + 50 \, m + 24} + \frac {{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m + 1} c^{3}}{a {\left (m + 1\right )}}}{f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

(3*(a^m*(m + 1)*sin(f*x + e)^2 + a^m*m*sin(f*x + e) - a^m)*c^2*d*(sin(f*x + e) + 1)^m/(m^2 + 3*m + 2) + 3*((m^
2 + 3*m + 2)*a^m*sin(f*x + e)^3 + (m^2 + m)*a^m*sin(f*x + e)^2 - 2*a^m*m*sin(f*x + e) + 2*a^m)*c*d^2*(sin(f*x
+ e) + 1)^m/(m^3 + 6*m^2 + 11*m + 6) + ((m^3 + 6*m^2 + 11*m + 6)*a^m*sin(f*x + e)^4 + (m^3 + 3*m^2 + 2*m)*a^m*
sin(f*x + e)^3 - 3*(m^2 + m)*a^m*sin(f*x + e)^2 + 6*a^m*m*sin(f*x + e) - 6*a^m)*d^3*(sin(f*x + e) + 1)^m/(m^4
+ 10*m^3 + 35*m^2 + 50*m + 24) + (a*sin(f*x + e) + a)^(m + 1)*c^3/(a*(m + 1)))/f

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 13.44, size = 703, normalized size = 5.29 \[ \frac {{\left (a\,\left (\sin \left (e+f\,x\right )+1\right )\right )}^m\,\left (192\,c\,d^2-144\,c^2\,d+208\,c^3\,m+21\,d^3\,m+192\,c^3\,\sin \left (e+f\,x\right )+192\,c^3-30\,d^3-24\,d^3\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )+6\,d^3\,\cos \left (4\,e+4\,f\,x\right )+72\,c^3\,m^2+8\,c^3\,m^3+6\,d^3\,m^2+3\,d^3\,m^3+208\,c^3\,m\,\sin \left (e+f\,x\right )+60\,d^3\,m\,\sin \left (e+f\,x\right )-144\,c^2\,d\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )+60\,c\,d^2\,m^2+72\,c^2\,d\,m^2+12\,c\,d^2\,m^3+12\,c^2\,d\,m^3-32\,d^3\,m\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )+11\,d^3\,m\,\cos \left (4\,e+4\,f\,x\right )-48\,c\,d^2\,\sin \left (3\,e+3\,f\,x\right )+72\,c^3\,m^2\,\sin \left (e+f\,x\right )+8\,c^3\,m^3\,\sin \left (e+f\,x\right )-4\,d^3\,m\,\sin \left (3\,e+3\,f\,x\right )+18\,d^3\,m^2\,\sin \left (e+f\,x\right )+6\,d^3\,m^3\,\sin \left (e+f\,x\right )-12\,d^3\,m^2\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )-4\,d^3\,m^3\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )+6\,d^3\,m^2\,\cos \left (4\,e+4\,f\,x\right )+d^3\,m^3\,\cos \left (4\,e+4\,f\,x\right )-6\,d^3\,m^2\,\sin \left (3\,e+3\,f\,x\right )-2\,d^3\,m^3\,\sin \left (3\,e+3\,f\,x\right )+96\,c\,d^2\,m+60\,c^2\,d\,m+144\,c\,d^2\,\sin \left (e+f\,x\right )-60\,c\,d^2\,m^2\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )-96\,c^2\,d\,m^2\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )-12\,c\,d^2\,m^3\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )-12\,c^2\,d\,m^3\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )-42\,c\,d^2\,m^2\,\sin \left (3\,e+3\,f\,x\right )-6\,c\,d^2\,m^3\,\sin \left (3\,e+3\,f\,x\right )+60\,c\,d^2\,m\,\sin \left (e+f\,x\right )+288\,c^2\,d\,m\,\sin \left (e+f\,x\right )-48\,c\,d^2\,m\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )-228\,c^2\,d\,m\,\cos \left (2\,e+2\,f\,x\right )-84\,c\,d^2\,m\,\sin \left (3\,e+3\,f\,x\right )+78\,c\,d^2\,m^2\,\sin \left (e+f\,x\right )+168\,c^2\,d\,m^2\,\sin \left (e+f\,x\right )+18\,c\,d^2\,m^3\,\sin \left (e+f\,x\right )+24\,c^2\,d\,m^3\,\sin \left (e+f\,x\right )\right )}{8\,f\,\left (m^4+10\,m^3+35\,m^2+50\,m+24\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(e + f*x)*(a + a*sin(e + f*x))^m*(c + d*sin(e + f*x))^3,x)

[Out]

((a*(sin(e + f*x) + 1))^m*(192*c*d^2 - 144*c^2*d + 208*c^3*m + 21*d^3*m + 192*c^3*sin(e + f*x) + 192*c^3 - 30*
d^3 - 24*d^3*cos(2*e + 2*f*x) + 6*d^3*cos(4*e + 4*f*x) + 72*c^3*m^2 + 8*c^3*m^3 + 6*d^3*m^2 + 3*d^3*m^3 + 208*
c^3*m*sin(e + f*x) + 60*d^3*m*sin(e + f*x) - 144*c^2*d*cos(2*e + 2*f*x) + 60*c*d^2*m^2 + 72*c^2*d*m^2 + 12*c*d
^2*m^3 + 12*c^2*d*m^3 - 32*d^3*m*cos(2*e + 2*f*x) + 11*d^3*m*cos(4*e + 4*f*x) - 48*c*d^2*sin(3*e + 3*f*x) + 72
*c^3*m^2*sin(e + f*x) + 8*c^3*m^3*sin(e + f*x) - 4*d^3*m*sin(3*e + 3*f*x) + 18*d^3*m^2*sin(e + f*x) + 6*d^3*m^
3*sin(e + f*x) - 12*d^3*m^2*cos(2*e + 2*f*x) - 4*d^3*m^3*cos(2*e + 2*f*x) + 6*d^3*m^2*cos(4*e + 4*f*x) + d^3*m
^3*cos(4*e + 4*f*x) - 6*d^3*m^2*sin(3*e + 3*f*x) - 2*d^3*m^3*sin(3*e + 3*f*x) + 96*c*d^2*m + 60*c^2*d*m + 144*
c*d^2*sin(e + f*x) - 60*c*d^2*m^2*cos(2*e + 2*f*x) - 96*c^2*d*m^2*cos(2*e + 2*f*x) - 12*c*d^2*m^3*cos(2*e + 2*
f*x) - 12*c^2*d*m^3*cos(2*e + 2*f*x) - 42*c*d^2*m^2*sin(3*e + 3*f*x) - 6*c*d^2*m^3*sin(3*e + 3*f*x) + 60*c*d^2
*m*sin(e + f*x) + 288*c^2*d*m*sin(e + f*x) - 48*c*d^2*m*cos(2*e + 2*f*x) - 228*c^2*d*m*cos(2*e + 2*f*x) - 84*c
*d^2*m*sin(3*e + 3*f*x) + 78*c*d^2*m^2*sin(e + f*x) + 168*c^2*d*m^2*sin(e + f*x) + 18*c*d^2*m^3*sin(e + f*x) +
24*c^2*d*m^3*sin(e + f*x)))/(8*f*(50*m + 35*m^2 + 10*m^3 + m^4 + 24))

________________________________________________________________________________________

sympy [A]  time = 41.43, size = 4310, normalized size = 32.41 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))**m*(c+d*sin(f*x+e))**3,x)

[Out]

Piecewise((x*(c + d*sin(e))**3*(a*sin(e) + a)**m*cos(e), Eq(f, 0)), (-2*c**3/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a*
*4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) - 9*c**2*d*sin(e + f*x)/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 +
18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) - 3*c**2*d/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*
f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) - 18*c*d**2*sin(e + f*x)**2/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 +
18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) - 18*c*d**2*sin(e + f*x)/(6*a**4*f*sin(e + f*x
)**3 + 18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) - 6*c*d**2/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 1
8*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 6*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**3/(
6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 18*d**3*log(sin(e
+ f*x) + 1)*sin(e + f*x)**2/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6
*a**4*f) + 18*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(e + f*x)**2 +
18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 6*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(e
+ f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 18*d**3*sin(e + f*x)**2/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f
*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 27*d**3*sin(e + f*x)/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a*
*4*f*sin(e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f) + 11*d**3/(6*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 18*a**4*f*sin(
e + f*x)**2 + 18*a**4*f*sin(e + f*x) + 6*a**4*f), Eq(m, -4)), (-c**3/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(
e + f*x) + 2*a**3*f) - 6*c**2*d*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 3
*c**2*d/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 6*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e +
f*x)**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 12*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e
+ f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 6*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**3
*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 12*c*d**2*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*
a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 9*c*d**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 6*d
**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 12*d
**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 6*d**3*
log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 2*d**3*sin(e + f*x)**3/(
2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 12*d**3*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2
+ 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 9*d**3/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f), Eq
(m, -3)), (-2*c**3/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*c**2*d*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(2*a**2*f*
sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*c**2*d*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*c**2*d/(2*a**
2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) - 12*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f)
- 12*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*c*d**2*sin(e + f*x)**2/(2*a**2*f*sin
(e + f*x) + 2*a**2*f) - 12*c*d**2/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*
x)/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + 6*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) + d**3
*sin(e + f*x)**3/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f) - 3*d**3*sin(e + f*x)**2/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f
) + 6*d**3/(2*a**2*f*sin(e + f*x) + 2*a**2*f), Eq(m, -2)), (c**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(a*f) - 3*c**2*d*log(si
n(e + f*x) + 1)/(a*f) + 3*c**2*d*sin(e + f*x)/(a*f) + 3*c*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)/(a*f) + 3*c*d**2*sin(e +
f*x)**2/(2*a*f) - 3*c*d**2*sin(e + f*x)/(a*f) - d**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(a*f) + d**3*sin(e + f*x)**3/(3*a*f
) - d**3*sin(e + f*x)**2/(2*a*f) + d**3*sin(e + f*x)/(a*f), Eq(m, -1)), (c**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin
(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + c**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*
m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 9*c**3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*
f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 9*c**3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f)
+ 26*c**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 26*c**3*m
*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 24*c**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*si
n(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 24*c**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m
**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 3*c**2*d*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 +
35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 3*c**2*d*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m*
*2 + 50*f*m + 24*f) + 24*c**2*d*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 +
50*f*m + 24*f) + 21*c**2*d*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m
+ 24*f) - 3*c**2*d*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 57*c**2*d*
m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 36*c**2*d*m*(a*si
n(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 21*c**2*d*m*(a*sin(e + f*x)
+ a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 36*c**2*d*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/
(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 36*c**2*d*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*
f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 3*c*d**2*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**
2 + 50*f*m + 24*f) + 3*c*d**2*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 5
0*f*m + 24*f) + 21*c*d**2*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*
m + 24*f) + 15*c*d**2*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m +
24*f) - 6*c*d**2*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) +
42*c*d**2*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 12*c*d*
*2*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 24*c*d**2*m*(a
*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 6*c*d**2*m*(a*sin(e + f*
x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 24*c*d**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**
3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 24*c*d**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 3
5*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + d**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2
+ 50*f*m + 24*f) + d**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m
+ 24*f) + 6*d**3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f)
+ 3*d**3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 3*d*
*3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 11*d**3*m*(
a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 2*d**3*m*(a*sin(e +
f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 3*d**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)*
*m*sin(e + f*x)**2/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 6*d**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e +
f*x)/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) + 6*d**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**
4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 + 50*f*m + 24*f) - 6*d**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**4 + 10*f*m**3 + 35*f*m**2 +
50*f*m + 24*f), True))

________________________________________________________________________________________